UNIDAD 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA

5.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVAS ORTOGONALES

Pendiente de la tangente a la curva. Es igual al valor de la derivada en cualquier punto.

La tangente a una curva es la recta que corta a la curva.

Y se representa matemáticamente:

Donde:

m1   Es la pendiente de la tangente a la curva. 

Es la derivada de la curva.

Pendiente de la recta normal a la curva. Es igual a la reciproca de la pendiente de la tangente de la curva.

Y se representa matematicamente:

Donde:

mn  Es la pendiente a la recta normal.

m1  Es la pendiente de la tangente de la curva.

5.2 TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL.

Si f(x) es continua en el intervalo [a,b] y se anula en sus extremos, y tiene una derivada f’(x) en todo punto inferior del intervalo, entonces existe por lo menos un valor de x, comprendido entre a y b, en el que f’(x) es igual a cero.

5.3 FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE. MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.

Función creciente:

Una función y=f(x) se llama función creciente si aumenta cuando x aumenta.

Función decreciente:

Una función y=f(x) se llama función decreciente si disminuye cuando x aumenta.

Máximos y Mínimos (Criterio de la primera derivada)

Condiciones generales para máximos y mínimos de f(x):

F(x) es un máximo si f’(x)=0 y f’(x) cambia de signo pasando de + a –

F(x) es un mínimo si f’(x)=0 y f’(x) cambia de signo pasando de – a +

Pasos para calcular máximos y minimos de la primera derivada:

1.- Se halla la primera derivada de la función.

2.- Se iguala la primera derivada a cero y se encuentras las raíces reales de la ecuación resultante.

3.- Se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera derivada.

5.4 ANALISIS DE LA VARIACION DE FUNCIONES.

El análisis de la variación se le conoce como variación acotada, o también conocido como BV función, es un numero real con valores de función cuya variación total esta limitado(finito).

¿Cómo se comporta la grafica de una función con esta propiedad?

Se comporta bien en el sentido preciso

5.5 CALCULO DE APROXIMACIONES USANDO LA DIFERENCIAL.

La diferencial nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto.

Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la grafica de y=f(x). Tomando  el punto P(x0, y0) como origen, se introduce el nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dy son paralelos a los ejes anteriores.

Supongamos que con este nuevo eje de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y su ecuación es simple, dy=mdx donde m es la pendiente.

5.6 PROBLEMAS DE OPTIMIZACION Y DE TASAS RELACIONADAS.

La optimizacion se refiere a los problemas que se ocupan de la determinada forma mas apropiada para realizar cierta tarea. Se deben calcular los maximos y minimos de la funcion. La funcion cuyo máximo o minimo necesita determinarse por lo general esta sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.

Pasos para resolver un problema de optimización:

1.- Identificar las variables y constantes de la función.

2.- Escribir la formula adecuada para la función particular.

3.- La formula será escrita en términos de una sola variable.

UNIDAD 4: DERIVADAS

4.1 CONCEPTOS DE INCREMENTO Y RAZON DE CAMBIO. LA DERIVADA DE UNA FUNCION.

Incremento:

El incremento ∆x de una variable x es el cambio en x cuando crece o decrece desde un valor

Razon de cambio:

Las razones de cambio  se refieren por lo general a cambios respecto al tiempo, pero se puede buscar la razón de cambio respecto a una variable relacionada.

Existen variadas aplicaciones sobre el conocimiento de la “razón de cambio” por ejemplo:

-Los índices de reprobación en matemáticas.

-La tasa de deserción escolar.

-Los costos de producción.

-La fuerza de los vientos huracanados.

Como lo vimos anteriormente la razón de cambio se refieren a cambios con respecto al tiempo.

La ecuación de la razón de cambio es:

Se puede calcular el cociente de incrementos de “y” con respecto a “x” en un intervalo de  ∆x mediante la siguiente regla:

Se llama razon media de cambio de la funcion en el intervalo x=x0 y x=x0+∆x LA DERIVADA DE UNA FUNCION y=f(x) con respecto a x en el punto x=x0 se define como: