2.1 CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCIÓN, DOMINIO, CODOMINO

UNIDAD 2

VARIABLE

Una variable es una propiedad que puede tomar uno o varios valores dados por los elementos de un conjunto. Ahora bien pongamos de ejemplo de variable al “estado civil de una persona” estos valores se toman del conjunto cuyos elementos son: soltero, casado, viudo, divorciado, etc.

Ahora bien el valor de una variable depende del valor de otra. Usemos un ejemplo mas sencillo, el salario de una persona puede depender del numero de horas que trabaje. Si vemos bien nos damos  cuenta que el valor de la variable va a depender de otra. Si bien la variable es un símbolo para un numero que no sabemos aun.

FUNCION

Función es representada por “f” decimos que es una función cuando hay dos conjuntos que entre ellos existe una regla de correspondencia que permite asociar elementos del prime conjunto con elementos del segundo conjunto. Podríamos decir que tenemos el conjunto A Y B que entre ellos existe una regla de correspondencia de que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B. 

DOMINIO

El dominio de una función está formado por aquellos elementos de X para que se pueda calcular los valores de f(x). En la imagen anterior podemos ver que el dominio es el conjunto A, ahora bien ¿Por qué el conjunto A? pues  porque los valores de X son valores que podemos dar uno mismo, porque X es una variable independiente y después ya  poder comenzar a buscar los valores de f(x).

CODOMINIO

El codominio, imagen o rango de una función son todos los valores que toma la función Y (variable dependiente), por eso a Y se le denomina f(x) porque su valor depende del valor que tenga X. Como lo vimos en la imagen anterior el codomino es f(x) de los valores de X que pertenecen al dominio de la función.

FUNCIONES

http://jjgarmel.webs.ull.es/Apuntes/Tema%203%20-%20Funciones.%20C%C3%A1lculo%20diferencial.pdf

Albornoz Salazar José Luis. DOMINIO Y RANGO

 DE UNA FUNCIÓN

http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/dominio-y-rango-funcion/dominio-y-rango-funcion.pdf

2.2 FUNCIÓN INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

FUNCION INYECTIVA

Una función es inyectiva o uno a uno y se denota 1-1, si a diferentes elementos del domino le corresponden diferentes elementos del codominio. En esta función dos valores cuales quiera X1 y X2  de su domino cumple con:

X1≠X2⇒ f(X1) ≠f(X2)

EJEMPLO:

La función f(x)=3x+1 es 1-1 , ya que si se definen como  f : ℝ⟶ℝ entonces tendremos diferentes elementos del domino le corresponden diferentes elementos del codomino.

Usemos un ejemplo sencillo, con nuestra vida cotidiana, utilicemos M como el conjunto de madres con hijos, H el conjunto de hijos y f la función que asocia a cada mujer con su hijo. Es una función 1-1 o inyectiva.

FUNCION SUPRAYECTIVA

Una función es suprayectiva si para cada elemento Y en B existe por lo menos X en A que cumpla f(x)=y, en otras palabras mas sencillas una función es suprayectiva si f(A)=B.

EJEMPLO:

Se presentan ejemplos de dos casos, uno en que la función es sobre y la otra en la que no lo es:

FUNCION BIYECTIVA

Una función biyectiva es si al mismo tiempo es inyectiva y suprayectiva, la relación de los elementos del dominio y del codomino es de correspondencia.

Una función puede ser:

•      1-1 y sobre (biyectiva)
•      1-1, pero no sobre
•      No 1-1, pero si sobre
•      Ni 1-1 ni sobre

EJEMPLO:

Veamos cada uno de los elementos citados.

Colome García Pablo. FUNCIONES INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

http://www.ingenieria.unam.mx/~colomepg/CAPITULO_I_FUNCIONES_III.pdf

2.3 FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE REAL Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA.

FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE REAL

Se le llama función real de variable real a todo función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto ℝ  de los números reales, tal que a cada elemento de x(D) le corresponde un único elemento en y (ℝ)

F: D⟶ℝ

    x⟶f(x)=y

Para que una función quede bien definida es necesario determinar:

•       El conjunto inicial o dominio de la función
•       El codomino o imagen de la función
•       La regla por la cual a cada elemento de un conjunto dominio se le asigna un único       elemento del conjunto imagen.

REPRESENTACIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL

Se llama gráfica de una función al conjunto de puntos en el plano que verifican la formula que define la función. La abscisa de los puntos corresponde  a la variable independiente y la ordenada a la variable dependiente.

FUNCIONES DE VARIABLES REAL

http://www.ehu.es/~mtpalezp/libros/ana1_2.pdf

2.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Si una función pude construirse usando operaciones algebraicas  (suma, resta, multiplicación, sacar raíces) se le llama función algebraica.

NOTA:

Cualquier función racional es una función algebraica.

FUNCIÓN POLINOMIAL:

A una función F se le llama polinomial si.

Donde n es un numero entero no negativo y los números a0, a1, a2…………..an  son constantes o coeficientes principales del polinomio. El donimio de cualquier polinomio es  ℝ = (∞,∞)

Veamos cuales son las funciones polinomiales y su tipo de función correspondiente.

FUNCION RACIONAL:

Las funciones racionales se definen como la razón entre dos polinomios.

Donde su dominio será todos los números reales “x” excepto en q(x)=0

FUNCIÓN IRRACIONAL:

Las funciones radicales o irracionales son las funciones  que tienen la variable independiente “x” abajo del signo de radical, es decir:

f(x)=

Las características de las funciones irracionales son:

•  Si  n es un numero par de su dominio es el intervalo en el que g(x) ≥0

•  Si n es impar, su dominio es ℝ.

• Su representación grafica es una rama de una parábola.

EJEMPLO DE FUNCION IRRACIONAL:

F(x)=√X

DOMINIO:

Como n es par, el dominio de f(x) es x≥0, es decir el dominio de la función es [0,+∞)

PUNTOS DE CORTE:

F(0)=√0 =0 el punto de corte coinciden con el eje de coordenadas (0,0)

TABLA DE VALORES:

F(X)=√X

FUNCIONES ALGEBRAICAS.

http://creandoelfuturo.net/es/funciones/funciones-algebraicas-funcion-polinomial-racional-radical

http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_elementales/teoria/radicales.html

2.5 FUNCIONES TRASCENDENTES

FUNCIONES TRASCENDENTES

Estas funciones no son algebraicas. El conjunto de funciones trascendentes incluye las funciones trigonométrica, trigonométrica inversa, exponencial y logarítmica.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS:

En el calculo la convención es que siempre se utiliza la medida en radianes (excepto cuando se indica lo contrario). Utilicemos de ejemplo, la función f(x)=sinx, se supone que sinx significa que el seno del angulo cuya medida es en radianes es x. Veamos que tipo de graficas serian su tuviéramos una función con seno y otra con coseno.

Debemos observar que para la función seno como para la función coseno el domino es de (-∞,+∞) y el alcance del intervalo es [-1,1]. Entonces conociendo estos términos podemos decir que para todos los valores de x, se tiene que:

-1≤sin x≤1

-1≤cos x≤1

O con términos de valor absoluto seria:

|sin x|≤1

|cos x|≤1

FUNCIONES EXPONENCIALES:

Las funciones exponenciales son funciones de forma f(x)=a^x, donde la base a es una constante positiva. Veamos dos ejemplos tenemos dos graficas en las que y=2^x  y otra en la que y=(0,5)^x. En ambos casos el dominio es (-∞,+∞) y (0,+∞) es el intervalo.

Ahora veamos sus respectivas graficas

La función f(x)=2^x  es exponencial ya que la variable x es el exponente. No debemos de confundir la función con la función potencia g(x)= (0,5)^x en la cual la variable es la base.

Una función exponencial es una función de la forma.

F(x)=a^x

Donde x es una constante positiva.

FUNCIONES TRASCENDENTES

http://creandoelfuturo.net/es/funciones/funciones-trascendentes-funciones-trigonometricas-funciones-exponenciales

2.6 FUNCIÓN DEFINIDA POR MAS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.

FUNCIÓN DEFINIDA POR MÁS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA

Función a trozos es el nombre de una función que puede ser definida con la ayuda de múltiples funciones de correspondencia.

Una función f(x)=x⟶y es una función llamada función a trozos, si puede ser definida con ayuda de diferentes funciones lineales.

La gráfica de esta función también es definida por trozos, dependiendo el numero de ecuaciones que se utilicen para definir la función.

La función es llama así porque para definir esta función cambia según el valor de la variable de entrada.

La función de valor absoluto se transforma en función a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

•          Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
•          Se forman intervalos con el resultado de las raíces
•          Después definimos la función a trozos, tomando en cuenta que los intervalos en          donde la x es negativa se le cambia el signo de la función.
• ·        Representamos la función.

EJEMPLO:

Veremos un ejemplo siguiendo los pasos antes citados.

F(x)=|x-3|

x-3                         x=3

DEFINIDA POR MAS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA

https://es.scribd.com/doc/130011921/Funcion-Definida-Por-Mas-de-Una-Regla-de-Correspondencia

http://www.vitutor.com/fun/2/c_12.html

2.7 OPERACIONES CON FUNCIONES

OPERACIONES CON FUNCIONES

Las operaciones de suma, resta, multipicacion, división entre funciones y semejantes a las correspondientes efectuadas por números.

Sean f y g dos funciones reales de variables reales  y de dominios Dom(f)  y Dom(g), respectivamente

•        SUMA DE FUNCIONES

Llamamos suma de f y g, a una operación real que denominamos (f+g) tal que:

(f+g)=f(x)+g(x)

Llamos función nula o función cero a aquella función que se le asigna al dominio el valor 0 como rango.

Verifiquemos:

(f+0)(x)=f(x)+0(x)=f(x)

Por lo tanto, la función nula es el elemento neutro es decir el 0 para la suma de funciones.

•       RESTA DE FUNCIONES:

Llamamos resta de f y g, a una operación real que denominamos (f-g) tal que:

(f-g)=f(x)-g(x)

•       PRODUCTO DE FUNCIONES:

Llamamos producto de f por g, y se expresa (f●g) a la función:

(f●g)=f(x) ●g(x)

•       COCIENTE DE FUNCIONES:

Llamamos cociente de f y g a otra función que denominamos por f/g, tal que:

f/g (x)= f(x)/g(x)

Aquí podrás encontrar información relacionada.

Díaz Gómez José Luis.  OPERACIONES CON FUNCIONES. http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Funcion/3-funciones-operaciones-jl.pdf

http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones/teoria/operaciones.html

2.8 FUNCIÓN INVERSA, FUNCIÓN LOGARÍTMICA, FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.

FUNCION INVERSA:

Sea f una función f de dominio Dom(f); si es función inyectiva, entonces f tiene un función inversa, que si la expresamos por f-1, y esta definida por:

f-1: lim(f)→  Dom(f)

y→ f-1(y)=x,        con f(x)=y

Una función inversa se verifica por las siguientes propiedades:

1.   f[f-1(x)]=f-1[f(x)]=x
2.  Las graficas de f y de  f-1 son simetricas respecto al bisetriz del  primer cuadrante.

Veamos un ejemplo sobre la función inversa para enterderlos mejor.

Y=f(x)

F(x)=y        →   3x+2=y                   →   3x=y-2              →  x=y-2/3

Como se puede observar ya realizamos la inversa de la función, son pasos sencillos pero debemos de aprender las inversas de cada operación básica para poder realizar la inversa sin problemas.

FUNCIÓN LOGARÍTMICA:

Se le llama función logarítmica a base a a la función f(x)=loga(x), siendo que a>0 y a≠1.

EJEMPLO:

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA INVERSA:

Para que una función tenga inversa, tiene que ser inyectiva.

Las funciones trigonométricas no son inyectivas en todo su dominio, solo en algunos intervalos.
Observemos este ejemplo:    

F(x)=senx  es inyectiva en [-π/2,π/2]

Pérez Javier. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.

http://www.ugr.es/~fjperez/textos/calculo_diferencial_integral_func_una_var.pdf

FUNCION INVERSA.

http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones/teoria/inversa.

FUNCION LOGARITMICA.

http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad1/u1logte30.pdf

http://www.vitutor.com/fun/2/c_14.html

2.9 FUNCIONES CON DOMINO EN LOS NUMEROS NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUMEROS REALES: LAS SUCECIONES INFINITAS

FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NÚMEROS NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NÚMEROS REALES: LAS SUCESIONES INFINITAS.

Una sucesión numérica  es una función cuyo dominio es el conjunto de números naturales y cuyo recorrido está incluido en el conjunto de números reales.

Una secuencia infinita puede ser definida como un conjunto ordenado o una lista de distintos elementos que pueden formar pares teniendo correspondencia uno a uno al conjunto entero positivo. Los elementos son generalmente números.

Usemos como ejemplo un conjunto de números naturales, porque es una buena sucesión infinita.

N={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 

Una función puede ser definida sobre F U{0}  ya que tiene la función g(x) tiene una asociación uno a uno de F en  F U{0}.

2.10 FUNCIÓN IMPLÍCITA

FUNCIÓN IMPLÍCITA

Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x,y)=0 en lugar de la normal.

En otras palabras podríamos decir que una función implícita es aquella en las cuales la variable dependiente no se puede despejar. Pongamos de ejemplo estas:

No debemos de olvidar que las funciones implícitas acompañan a las funciones trigonométricas.

FUNCIONES IMPLÍCITAS. http://www.ma3.upc.edu/users/carmona/teaching/problemas/implicita.pdf

 

Aquí les dejo unos vínculos hacia diferentes paginas con información de calculo, espero que les sirvan tanto a como me sirvieron para realizar esta unidad.

Pérez Javier, CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. http://www.ugr.es/~fjperez/textos/calculo_diferencial_integral_func_una_var.pdf Flores Espinoza, R. Valencia Arvizu, M.A. Dávila Rascón, G. García Alvarado, M. G. FUNDAMENTOS DEL CALCULO. http://www.mat.uson.mx/sitio/documentos/fundamentos-de-calculo.pdf FUNCIONES DE VARIABLE REAL. http://www.ehu.es/~mtpalezp/libros/ana1_2.pdf FUNCIONES ALGEBRAICAS. https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/2013/10/fun_algebra_prodigy.pdf FUNCIONES. https://cursos.aiu.edu/Calculo%20Diferencial%20e%20Integral/PDF/Tema%202.pdf

UNIDAD 1 CALCULO DIFERENCIAL 2014

NÚMEROS REALES

Los números reales en las matemáticas se utiliza la letra ℝ para nombrar a los números reales incluyen a los números enteros (enteros positivos, enteros negativos incluyendo el cero) como a los racionales e irracionales; con otro enfoque los trascendentes y algebraicos, estos dos últimos no se pueden expresar por medio de una fracción. Con los números reales (ℝ) se pueden realizar todas las operaciones, excepto la radicacion de indice par y radicacion negativa, y la división por el cero.

También podemos definir a los números reales como la unión de números racionales e irracionales.

LA RECTA REAL

A todo numero real (ℝ) le corresponde un determinado punto de la recta y a todo punto de la recta le corresponde un numero real.

LA REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 

Los números reales pueden ser expresados en la recta con cierta aproximación, aunque hay casos en los que en los que se representan de forma exacta. En la geometría se era importante establecer cierta correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta. Los números reales cuentan con cierta condición llamada axioma de completitud.

Ahora bien el axioma de completitud asocia una correspondencia de los números reales con el conjunto de puntos en la recta.

Veamos como se le asocia un punto de la recta a cada numero real.

• Se le asocia al origen de la recta el numero 0
• Se le asocia a cada numero positivo (p) una distancia de números p en el origen en la dirección positiva.
• Se le asocia a cada numero negativo (-p) una distancia de números -p en el origen en la dirección negativa.

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

Utilicemos a,b,c∈ℝ, entonces verifiquemos las siguientes propiedades:

Expliquemos un poco de las propiedades

PROPIEDAD DE LA CERRADURA: Esta porpiedad dice que puedes sumar dos o mas numeros reales y que el producto de esta suma sera siempre un numero real.

PROPIEDAD CONMUTATIVA: Esta propiedad dice que para la suma y multiplicacion puedes cambiar el orden de los sumandos o los factores y no afectara el resultado de estos porque siempre sera el mismo.

PROPIEDAD ASOCIATIVA: Esta porpiedad nos permite realizar sumas y multiplicaciones parciales agrupando a los sumandos o factores, para despues sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el calculo de la expresion.

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: Esta propiedad tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de suma o multiplicacion en una expresion, con el unico fin de facilitar las operaciones.

PROPIEDAD DE IDENTIDAD O ELEMENTO NEUTRO: Esta propiedad para la suma, nos dice que para la suma existe un elemento (llamado elemento neutro de la suma) y que al ser usado como sumando no cambia el producto de la suma.

PROPIEDAD DEL INVERSO: Esta propiedad del inverso para la suma, nos expresa que existe un numero que al ser utilizado como sumando hace que el resultado sea igual a cero.

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS 

 Esta es la clasificacion de los numeros reales, para entender mejor como estan compuestos los numeros reales 

NÚMEROS RACIONALES: Son aquellos que se pueden expresar en forma de fracción; por ejemplo (a/b) siempre y cuando b=0

NÚMEROS IRRACIONALES: Son aquellos en los que no se pueden expresar en forma de fracción  (a/b) con a, b=Z

DESIGUALDADES E INECUACIONES

INTERVALO: 

Es el conjunto de numeros reales comprendidos entres dos numeros dados, por ejemplo: a y b que se denominan extremos del intervalo.

Tambien se le llama intervalo al segmento que esta determinado por dos numeros (en este caso por los puntos a y b) en la recta real que representan una porcion.

Como ya lo vimos en el tema anterior cabe resaltar que a todo numero real le pertence un lugar en la recta real.

EJEMPLO: 

(2,5)  Es un intervalo de extremos 2 y 5 y a este le pertenecen todos los numeros comprendidos que se encuentren entre el 2 y el 5 sin incluir sus extremos. 

CLASES DE INTERVALOS:

INTERVALOS ABIERTOS: (a,b) Son todos los numeros entre a y b sin incluir sus extremos

INTERVALOS CERRADOS: [ a,b] Son todos los numeros entre a y b incluyendo sus extremos.

INTERVALOS SEMIABIERTOS O SEMICERRADOS: [a,b) Son todos los numeros entre a y b incluyendo al extremo a.

INTERVALOS INFINITOS: (a,∞) Son todos los numeros mayores que a.

Primeramente debemos conocer el concepto de desigualdad e inecuacion.

DESIGUALDAD: Es una ecuacion en la que dos expresiones no son iguales, son parecidas a las ecuaciones, la unica diferencia en ellas es que en vez de tener un signo tienen un simbolo, que son >, <,  ≥, ≤.

Tambien se dice que es una desigualdad cuando cierta cantidad es mayor o menor que otro por ciertas incognitas que se deben despejar.

Los simbolos de desigualdad son: 

≠ No es igual 

< Menor que

> Mayor que

≤ Menor o igual que 

≥ Mayor o igual que

INECUACION: Es toda expresion en donde aparecen los signos de >, <,  ≥, ≤.

Las desigualdades y las inecuaciones se clasifican en:

VERDADERA: -5>-10

ABSURDA: 3<-2

INECUACION: 5x-9≥2x+1

IMPORTANTE:

Las soluciones de las desigualdades siempre seran intervalos.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES:

1- Una desigualdad no varia si se suma o se resta la misma cantidad de ambos lados.

                                               a+b<b+c o a-b<b-c

2- Una desigualdad no varia su sentido si se multiplica o divide por un numero que sea positivo.

                                            a<b/c o a<b*c          

                                            (c>0)  (c es un numero positivo, mayor que cero)

                                            a*c<b*c

3- Una desigualdad no varia su sentido si multiplica o divide por un numero negativo.

                                           a<b/c o a<b*c

                                           (c<0)  (c es un numero negativo, menor que cero)

                                           a*c<b*c

CLASIFICACION DE LAS DESIGUALDADES

DESIGUALDADES LINEALES: Estas desigualdades son las mas sencillas porque solamente contienen una variable a la primera potencia.

DESIGUALDADES LINEALES DOBLES: Son desigualdades que contienen dos signos de comparacion.

DESIGUALDADES CUADRATICAS: Son desigualdades en las que uno de sus miembros o en varios miembros aparece un termino cuadratico.

DESIGUALDADES RACIONALES: Son desigualdades en donde aparecen cocientes con variable en el denominador y el numerador.

EJEMPLO: (SOLUCION DE DESIGUALDADES)

2x+3>-2

2x>-2-3

x>-5/2

INECUACIONES PASO A PASO:

Veremos inecuaciones paso por paso para entenderlos de mejor manera.

EJEMPLO 1

DESIGUALDAD QUE VAMOS A SOLUCIONAR.

-2<1-3x≤4                             

AGREGAMOS -1 A LAS TRES EXPRESIONES

-2-1<-3x-1≤4-1                        

REALIZANDO LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES.

-3<-3x≤3                                 

AHORA DIVIDIENDO POR -3 A LAS EXPRESIONES PARA DEJAR A LA X LIBRE.

-3/-3>x≥3/-3                        

REALIZANDO LA DIVISIÓN.

-1≥x>1                              

 LA DESIGUALDAD ES DE INTERVALO SEMIABIERTO.

-1≤x<1             

EJEMPLO 2

INECUACION A RESOLVER.

3+3x≤5x+1<17+3x                          

Es una desigualdad doble con variable que tiene tres expresiones se deben separar en dos partes para facilitar el despeje de las x.

LADO DERECHO                                                 LADO IZQUIERDO

3+3x≤5x+1                                                             5x+1<17+3x

3-1≤5x-3x                                                               5x-3x<17-1

2≤2x                                                                       2x<16

2/2≤x                                                                      x<16/2

1≤x                                                                         x<8

En esta inecuacion podemos ver que como tiene dos simbolos de comparacion, tenemos que separarlo en dos partes, a partir del primer simbolo que en este caso quedaria 3+3x≤5x+1 y la segunda parte quedaria 5x+1<17+3x, para posteriormente despejar la incógnita y encontrar la solución en ambos lados, y después graficar junto con su intervalo solución y su conjunto.

EJEMPLO 3

INECUACION A RESOLVER

4x²+8x-1≤ x²-6

Esta es un desigualdad cuadrática, porque sus términos se encuentran elevados a la segunda potencial, y se solucionan de la siguiente manera.

4x²+8x-1≤ x²-6

4x²+8x-1≤ x²-6≤0

3x²+8x+5≤0

(3x+5) (x+1)

x=-5/3   y  x=-1

En esta inecuacion para empezar a despejar las x tenemos que pasar todos sus terminos de lado izquierdo pero con los signos contrarios (es decir si esta sumando pasa restando, y si esta multiplicando pasa diviendo y a la inversa) para que del lado derecho nos quede 0, despues se adicionan los terminos semejates ( es decir si tenemos dos terminos de cierto numero elevado al cuadrado realizamos la suma de ellos para hacerlos en un solo termino y proseguimos con el mismo paso con lo números que esten elevados con el mismo exponente) el siguiente paso es factorizar el polinomio, para poder encontrar el resultado de los factores.

La solucion de la inecuacion es[-5/3,-1 ]

EJEMPLO 4

INECUACION A RESOLVER

x+1/x-1≥-2

x+1/x-1+2≥0

x+1-2x-2/x-1

3x+1/x-1≥0

x= 1/3   y x= 1

En esta inecuacion debemos de empezar a pasar todos los terminos del lado derecho al lado izquiero con los signos contrarios, mientras que en el lado derecho debemos dejar el cero, ya que el cero es un elemento neutro y no cambiara el resultado, realizamos la suma, en el siguiente paso eliminamos los términos semejantes y encontramos el valor de la desigualdad encontrando los ceros de los factores.

IMPORTANTE:

Siempre que se multiplique o divida por un numero que sea negativo el signo de la desigualdad cambiara. Por ejemplo

8/-2>6/-2

-4<-3

                             TEORÍA DE CONJUNTOS

Antes que nada definamos que es un conjunto.

Un conjunto es una rama de las matemáticas que se basa en la agrupación de elementos.

¿Que es un elemento?

Un elemento es aquello que podríamos que decir que es único, diferente a las demás cosas que se encuentran alrededor.

SIMBOLOGIA:

SÍMBOLO:    

• A, B, C (Indican conjuntos)
• a, b,  c  (Indican elementos)
• < (Es menor que)
• > (Es mayor que)
• ≤ (Es menor o igual que)
• ≥ (Es mayor o igual que)
• Ø (Conjunto vació)
• ∩ (Intersección)
• U (Unión)
• ⊂ (Incluido)
• ⊃ (Incluye)
• ⊆ (Incluido o igual (ampliamente))
• ⊇ (Incluye (ampliamente))
• ∧ (Y)
• ∨ (O )
• ∃ (Existe)
• ∀ (Para todo) 
• ⇒ (Implica)
• ⇔ (Si y solo si)
• ∈ (Pertenece)

Estos son algunos de los símbolos de la teoría de conjuntos.

    VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un numero entero es un numero natural que resulta de eliminar su signo.

El valor absoluto de un numero real a se escribe |a| que este es el mismo numero cuando es positivo, cero y opuesto de a, si a es negativo.

|a|= a si ≥ 0 

|a|= a si < 0

PROPIEDADES:

Ahora veremos las propiedades del valor absoluto para comprenderlo mejor.

Si a y b son números reales y n es un numero entero entonces tendremos que:

1- Los números opuestos tienen el mismo valor absoluto.

|a|=|-a|=a

2- El valor absoluto de la multiplicación es igual al producto del valor absoluto de los factores.

|a*b|=|a|*|b|

3- El valor absoluto de una fracción va a ser igual al valor absoluto del numerador y denominador.

|a/b|=|a|/|b|

4- El valor absoluto de un numero entero elevado a una cierta potencia sera el valor absoluto del numero elevado a la potencial.

|a²|=|a|²

5- El valor absoluto de la suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a+b|≤|a|+|b|

http://www.ditutor.com/numeros_enteros/valor_absoluto.html

EJEMPLOS DE VALOR ABSOLUTO:

a= 10, b=3           |a-b|=|10-3|=|7|=7

a=3   b=7             |3-7|=|-4|=4

a=5   b=-3            |5-|-3|=|8|=8

a=-3  b=-5            ||-3|-|-5||=|2|=2

OBSERVACIONES DEL VALOR ABSOLUTO:

|x|=a son los valores x tales que x=a o x=-a

|x|<a son los valores x tales que -a<x<a

|x|>a son los valores x tales que x<-a o x>a

http://calculo.cc/N%C3%BAmeros_reales/Valor_absoluto.html

Veremos como se solucionan las desigualdades con valor absoluto utilizando algunas de las observaciones.

EJEMPLO 1
En el caso 1 dice que si tenemos el valor absoluto de a que es menor que b (|a|<b) entonces la solucion seria la siguiente -b<a<b, tendriamos que a esta comprendida entre a y b.

|a|<b

|3x-2|<5

-5<3x-2<5

-5+2<3x-2+2<5+2

-3<3x<7

-3/3<3x/3<7/3

-1<x<7/3 

Primeramente debemos de despejar variables en este caso b seria el 5 y el equivalente de a sera 3x-2 como podemos observar que a es lo que se encuentra entre las barras, comenzamos a resolver la desigualdad que nos ha resultado, primeramente comenzamos quitando ese 2 para poder quitarlo debemos de sumarle dos a los tres miembros que tenemos en la desigualdad, ahora bien ¿porque sumarle 2 a cada termino de la desigualdad? porque lo que queremos es despejar y dejar libre el termino 3x y al momento de sumarle 2 a cada termino, en el termino de 3x-2+2 automaticamente se eliminan porque el resuultado es cero y queda simplemente el 3x, realizamos las operaciones correspondientes y vemos que en el centro tenemos solamente 3x pero queremos deshacernos del 3 que esta junto a la x y para poder eliminarlo tenemos que dividir los tres terminos por el 3, ¿porque se divide por el tres? para poder despejar la x del centro, porque al momento de dividir tres entre tres nos da cero y quedaria la x despejada, como se dividen por signos positivos los signos de la desigualdad no sufren ningun cambio y realizamos las operaciones correspondientes y nos da como resultado la solucion de la desigualdad.

EJEMPLO 2

En el caso 2 tenemos que el valor absoluto de a que es menor o igual que una cantidad positiva de b (|a|≤b) entonces la solucion seria -b≤a≤b.

|x-10/7|≤5

-5≤x-10/7≤5

-5*7≤x-10/7*7≤5*7

-35≤x-10≤35

-35+10≤x-10+10≤35+10

-25≤x≤45

Primeramente reemplacemos cada componente, como ya lo vimos en el ejemplo pasado b seria 5 y el equivalente de a seria x-10/7, debemos de darle solucion a esta desigualdad que a primera vista se puede ver que es de tipo lineal ya que el exponente esta elevado a la primera potencia, debemos de eliminar ese 7, pero para ello debemos de pasarlo multiplicando por tres  miembros de la desigualdad, ¿pero porque multiplicando? porque si esta dividiendo pasa multiplicando, como se va a multiplicar por un signo positivo los signos de la desigualdad no presentan ningun cambio, para que al momento de multiplicar 7*7 se eliminen porque da como resultado 0 realizamos las operaciones correspondientes, ahora debemos dejar la x sola en el centro para eso debemos de pasar sumando 10 a los tres terminos de la desigualdad para que en el centro nos quede la x, en el centro la x queda sola, relizamos las operaciones correspondientes y nos da como resultado la solucion de la desigualdad.

EJEMPLO 3

En el caso 3 tenemos que el valor absoluto de a es mayor que una cantidad positiva de b se soluciona asi a<-b U a>b

|8x+1|>3

8x+1<-3      U     8x+1>3

8x<-3+-1            8x>3-1       

8x<-4                 8x>2

8x/8<-4/8           8x/8>2/8

x<-1/2     U         x>1/4

Primeramente procedemos a sustituir cada componente que a representa lo que se encuentra dentro de las barras en este caso a seria 8x+1 y b es 3 sustituimos las variables,entre esas dos desigualdades debemos realizar al final la union de sus conjuntos solucion, comenzamos por el lado derecho, ambas desigualdades son de tipo lineal pasamos el +1 que se encuentra del lado izquierdo al lado derecho para poder dejar la x en un lado, realizamos las operaciones correspondientes y para podernos deshacer de ese 8 debemos de pasarlo diviendo a ambos lados de la desigualdad porque si esta multiplicando a la x la operacion inversa a la multiplicacion es la division, para que en el primer miembro resulte la x sola porque al dividir ocho entre ocho nos da como resultado 1 que en este caso seria la x, como se divide por un numero positivo el signo de la desigualdad no presenta ningun cambio, en un lado nos queda x y en el otro lado la fraccion -4/8 podemos sacarle la cuarta en el numerador y denominador y nos da el resultado de la primera parte de la desigualdad y realizamos los mismos pasos para realizar el otro lado de la desigualdad.

EJEMPLO 4

En el caso 4 tenemos que el valor absoluto de a es mayor o igual que una cantidad positiva de b se soluciona asi a≤-b U a≥b

|x+6|≥1

x+6≤-1     U   x+6≥1  

x≤-1-6           x≥1-6

x≤7               x≥5

Primeramente debemos de sustituir cada elemento que a es lo que esta entre las barras en este caso es x+6 y b es 1, sustituimos de acuerdo al caso y entre las dos desigualdades que resulte debemos realizar una union de conjuntos, ahora resolvemos cada desigualdad por separado, en los dos lados tenemos desigualdades lineales, despejamos x y pasamos el 6 restando al otro lado, realizamos la operacion correspondiente y nos da como resultado la solucion de la desigualdad y realizamos el mismo procedimiento para realizar la desigualdad del otro lado y al final volvemos hacer union de los conjuntos.