NÚMEROS REALES
Los números reales en las matemáticas se utiliza la letra ℝ para nombrar a los números reales incluyen a los números enteros (enteros positivos, enteros negativos incluyendo el cero) como a los racionales e irracionales; con otro enfoque los trascendentes y algebraicos, estos dos últimos no se pueden expresar por medio de una fracción. Con los números reales (ℝ) se pueden realizar todas las operaciones, excepto la radicacion de indice par y radicacion negativa, y la división por el cero.
También podemos definir a los números reales como la unión de números racionales e irracionales.
LA RECTA REAL
A todo numero real (ℝ) le corresponde un determinado punto de la recta y a todo punto de la recta le corresponde un numero real.
LA REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Los números reales pueden ser expresados en la recta con cierta aproximación, aunque hay casos en los que en los que se representan de forma exacta. En la geometría se era importante establecer cierta correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta. Los números reales cuentan con cierta condición llamada axioma de completitud.
Ahora bien el axioma de completitud asocia una correspondencia de los números reales con el conjunto de puntos en la recta.
Veamos como se le asocia un punto de la recta a cada numero real.
- Se le asocia al origen de la recta el numero 0
- Se le asocia a cada numero positivo (p) una distancia de números p en el origen en la dirección positiva.
- Se le asocia a cada numero negativo (-p) una distancia de números -p en el origen en la dirección negativa.
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
Utilicemos a,b,c∈ℝ, entonces verifiquemos las siguientes propiedades:
Expliquemos un poco de las propiedades
PROPIEDAD DE LA CERRADURA: Esta porpiedad dice que puedes sumar dos o mas numeros reales y que el producto de esta suma sera siempre un numero real.
PROPIEDAD CONMUTATIVA: Esta propiedad dice que para la suma y multiplicacion puedes cambiar el orden de los sumandos o los factores y no afectara el resultado de estos porque siempre sera el mismo.
PROPIEDAD ASOCIATIVA: Esta porpiedad nos permite realizar sumas y multiplicaciones parciales agrupando a los sumandos o factores, para despues sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el calculo de la expresion.
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: Esta propiedad tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de suma o multiplicacion en una expresion, con el unico fin de facilitar las operaciones.
PROPIEDAD DE IDENTIDAD O ELEMENTO NEUTRO: Esta propiedad para la suma, nos dice que para la suma existe un elemento (llamado elemento neutro de la suma) y que al ser usado como sumando no cambia el producto de la suma.
PROPIEDAD DEL INVERSO: Esta propiedad del inverso para la suma, nos expresa que existe un numero que al ser utilizado como sumando hace que el resultado sea igual a cero.
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
Esta es la clasificacion de los numeros reales, para entender mejor como estan compuestos los numeros reales
NÚMEROS RACIONALES: Son aquellos que se pueden expresar en forma de fracción; por ejemplo (a/b) siempre y cuando b=0
NÚMEROS IRRACIONALES: Son aquellos en los que no se pueden expresar en forma de fracción (a/b) con a, b=Z
DESIGUALDADES E INECUACIONES
INTERVALO:
Es el conjunto de numeros reales comprendidos entres dos numeros dados, por ejemplo: a y b que se denominan extremos del intervalo.
Tambien se le llama intervalo al segmento que esta determinado por dos numeros (en este caso por los puntos a y b) en la recta real que representan una porcion.
Como ya lo vimos en el tema anterior cabe resaltar que a todo numero real le pertence un lugar en la recta real.
EJEMPLO:
(2,5) Es un intervalo de extremos 2 y 5 y a este le pertenecen todos los numeros comprendidos que se encuentren entre el 2 y el 5 sin incluir sus extremos.
CLASES DE INTERVALOS:
INTERVALOS ABIERTOS: (a,b) Son todos los numeros entre a y b sin incluir sus extremos
INTERVALOS CERRADOS: [ a,b] Son todos los numeros entre a y b incluyendo sus extremos.
INTERVALOS SEMIABIERTOS O SEMICERRADOS: [a,b) Son todos los numeros entre a y b incluyendo al extremo a.
INTERVALOS INFINITOS: (a,∞) Son todos los numeros mayores que a.
Primeramente debemos conocer el concepto de desigualdad e inecuacion.
DESIGUALDAD: Es una ecuacion en la que dos expresiones no son iguales, son parecidas a las ecuaciones, la unica diferencia en ellas es que en vez de tener un signo tienen un simbolo, que son >, <, ≥, ≤.
Tambien se dice que es una desigualdad cuando cierta cantidad es mayor o menor que otro por ciertas incognitas que se deben despejar.
Los simbolos de desigualdad son:
≠ No es igual
< Menor que
> Mayor que
≤ Menor o igual que
≥ Mayor o igual que
INECUACION: Es toda expresion en donde aparecen los signos de >, <, ≥, ≤.
Las desigualdades y las inecuaciones se clasifican en:
VERDADERA: -5>-10
ABSURDA: 3<-2
INECUACION: 5x-9≥2x+1
IMPORTANTE:
Las soluciones de las desigualdades siempre seran intervalos.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES:
1- Una desigualdad no varia si se suma o se resta la misma cantidad de ambos lados.
a+b<b+c o a-b<b-c
2- Una desigualdad no varia su sentido si se multiplica o divide por un numero que sea positivo.
a<b/c o a<b*c
(c>0) (c es un numero positivo, mayor que cero)
a*c<b*c
3- Una desigualdad no varia su sentido si multiplica o divide por un numero negativo.
a<b/c o a<b*c
(c<0) (c es un numero negativo, menor que cero)
a*c<b*c
CLASIFICACION DE LAS DESIGUALDADES
DESIGUALDADES LINEALES: Estas desigualdades son las mas sencillas porque solamente contienen una variable a la primera potencia.
DESIGUALDADES LINEALES DOBLES: Son desigualdades que contienen dos signos de comparacion.
DESIGUALDADES CUADRATICAS: Son desigualdades en las que uno de sus miembros o en varios miembros aparece un termino cuadratico.
DESIGUALDADES RACIONALES: Son desigualdades en donde aparecen cocientes con variable en el denominador y el numerador.
EJEMPLO: (SOLUCION DE DESIGUALDADES)
2x+3>-2
2x>-2-3
x>-5/2
INECUACIONES PASO A PASO:
Veremos inecuaciones paso por paso para entenderlos de mejor manera.
EJEMPLO 1
DESIGUALDAD QUE VAMOS A SOLUCIONAR.
-2<1-3x≤4
AGREGAMOS -1 A LAS TRES EXPRESIONES
-2-1<-3x-1≤4-1
REALIZANDO LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES.
-3<-3x≤3
AHORA DIVIDIENDO POR -3 A LAS EXPRESIONES PARA DEJAR A LA X LIBRE.
-3/-3>x≥3/-3
REALIZANDO LA DIVISIÓN.
-1≥x>1
LA DESIGUALDAD ES DE INTERVALO SEMIABIERTO.
-1≤x<1
EJEMPLO 2
INECUACION A RESOLVER.
3+3x≤5x+1<17+3x
Es una desigualdad doble con variable que tiene tres expresiones se deben separar en dos partes para facilitar el despeje de las x.
LADO DERECHO LADO IZQUIERDO
3+3x≤5x+1 5x+1<17+3x
3-1≤5x-3x 5x-3x<17-1
2≤2x 2x<16
2/2≤x x<16/2
1≤x x<8
En esta inecuacion podemos ver que como tiene dos simbolos de comparacion, tenemos que separarlo en dos partes, a partir del primer simbolo que en este caso quedaria 3+3x≤5x+1 y la segunda parte quedaria 5x+1<17+3x, para posteriormente despejar la incógnita y encontrar la solución en ambos lados, y después graficar junto con su intervalo solución y su conjunto.
EJEMPLO 3
INECUACION A RESOLVER
4x²+8x-1≤ x²-6
Esta es un desigualdad cuadrática, porque sus términos se encuentran elevados a la segunda potencial, y se solucionan de la siguiente manera.
4x²+8x-1≤ x²-6
4x²+8x-1≤ x²-6≤0
3x²+8x+5≤0
(3x+5) (x+1)
x=-5/3 y x=-1
En esta inecuacion para empezar a despejar las x tenemos que pasar todos sus terminos de lado izquierdo pero con los signos contrarios (es decir si esta sumando pasa restando, y si esta multiplicando pasa diviendo y a la inversa) para que del lado derecho nos quede 0, despues se adicionan los terminos semejates ( es decir si tenemos dos terminos de cierto numero elevado al cuadrado realizamos la suma de ellos para hacerlos en un solo termino y proseguimos con el mismo paso con lo números que esten elevados con el mismo exponente) el siguiente paso es factorizar el polinomio, para poder encontrar el resultado de los factores.
La solucion de la inecuacion es[-5/3,-1 ]
EJEMPLO 4
INECUACION A RESOLVER
x+1/x-1≥-2
x+1/x-1+2≥0
x+1-2x-2/x-1
3x+1/x-1≥0
x= 1/3 y x= 1
En esta inecuacion debemos de empezar a pasar todos los terminos del lado derecho al lado izquiero con los signos contrarios, mientras que en el lado derecho debemos dejar el cero, ya que el cero es un elemento neutro y no cambiara el resultado, realizamos la suma, en el siguiente paso eliminamos los términos semejantes y encontramos el valor de la desigualdad encontrando los ceros de los factores.
IMPORTANTE:
Siempre que se multiplique o divida por un numero que sea negativo el signo de la desigualdad cambiara. Por ejemplo
8/-2>6/-2
-4<-3
TEORÍA DE CONJUNTOS
Antes que nada definamos que es un conjunto.
Un conjunto es una rama de las matemáticas que se basa en la agrupación de elementos.
¿Que es un elemento?
Un elemento es aquello que podríamos que decir que es único, diferente a las demás cosas que se encuentran alrededor.
SIMBOLOGIA:
SÍMBOLO:
- A, B, C (Indican conjuntos)
- a, b, c (Indican elementos)
- < (Es menor que)
- > (Es mayor que)
- ≤ (Es menor o igual que)
- ≥ (Es mayor o igual que)
- Ø (Conjunto vació)
- ∩ (Intersección)
- U (Unión)
- ⊂ (Incluido)
- ⊃ (Incluye)
- ⊆ (Incluido o igual (ampliamente))
- ⊇ (Incluye (ampliamente))
- ∧ (Y)
- ∨ (O )
- ∃ (Existe)
- ∀ (Para todo)
- ⇒ (Implica)
- ⇔ (Si y solo si)
- ∈ (Pertenece)
Estos son algunos de los símbolos de la teoría de conjuntos.
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un numero entero es un numero natural que resulta de eliminar su signo.
El valor absoluto de un numero real a se escribe |a| que este es el mismo numero cuando es positivo, cero y opuesto de a, si a es negativo.
|a|= a si ≥ 0
|a|= a si < 0
PROPIEDADES:
Ahora veremos las propiedades del valor absoluto para comprenderlo mejor.
Si a y b son números reales y n es un numero entero entonces tendremos que:
1- Los números opuestos tienen el mismo valor absoluto.
|a|=|-a|=a
2- El valor absoluto de la multiplicación es igual al producto del valor absoluto de los factores.
|a*b|=|a|*|b|
3- El valor absoluto de una fracción va a ser igual al valor absoluto del numerador y denominador.
|a/b|=|a|/|b|
4- El valor absoluto de un numero entero elevado a una cierta potencia sera el valor absoluto del numero elevado a la potencial.
|a²|=|a|²
5- El valor absoluto de la suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.
|a+b|≤|a|+|b|
EJEMPLOS DE VALOR ABSOLUTO:
a= 10, b=3 |a-b|=|10-3|=|7|=7
a=3 b=7 |3-7|=|-4|=4
a=5 b=-3 |5-|-3|=|8|=8
a=-3 b=-5 ||-3|-|-5||=|2|=2
OBSERVACIONES DEL VALOR ABSOLUTO:
|x|=a son los valores x tales que x=a o x=-a
|x|<a son los valores x tales que -a<x<a
|x|>a son los valores x tales que x<-a o x>a
Veremos como se solucionan las desigualdades con valor absoluto utilizando algunas de las observaciones.
EJEMPLO 1
En el caso 1 dice que si tenemos el valor absoluto de a que es menor que b (|a|<b) entonces la solucion seria la siguiente -b<a<b, tendriamos que a esta comprendida entre a y b.
EJEMPLO 1
En el caso 1 dice que si tenemos el valor absoluto de a que es menor que b (|a|<b) entonces la solucion seria la siguiente -b<a<b, tendriamos que a esta comprendida entre a y b.
|a|<b
|3x-2|<5
-5<3x-2<5
-5+2<3x-2+2<5+2
-3<3x<7
-3/3<3x/3<7/3
-1<x<7/3
Primeramente debemos de despejar variables en este caso b seria el 5 y el equivalente de a sera 3x-2 como podemos observar que a es lo que se encuentra entre las barras, comenzamos a resolver la desigualdad que nos ha resultado, primeramente comenzamos quitando ese 2 para poder quitarlo debemos de sumarle dos a los tres miembros que tenemos en la desigualdad, ahora bien ¿porque sumarle 2 a cada termino de la desigualdad? porque lo que queremos es despejar y dejar libre el termino 3x y al momento de sumarle 2 a cada termino, en el termino de 3x-2+2 automaticamente se eliminan porque el resuultado es cero y queda simplemente el 3x, realizamos las operaciones correspondientes y vemos que en el centro tenemos solamente 3x pero queremos deshacernos del 3 que esta junto a la x y para poder eliminarlo tenemos que dividir los tres terminos por el 3, ¿porque se divide por el tres? para poder despejar la x del centro, porque al momento de dividir tres entre tres nos da cero y quedaria la x despejada, como se dividen por signos positivos los signos de la desigualdad no sufren ningun cambio y realizamos las operaciones correspondientes y nos da como resultado la solucion de la desigualdad.
EJEMPLO 2
En el caso 2 tenemos que el valor absoluto de a que es menor o igual que una cantidad positiva de b (|a|≤b) entonces la solucion seria -b≤a≤b.
|x-10/7|≤5
-5≤x-10/7≤5
-5*7≤x-10/7*7≤5*7
-35≤x-10≤35
-35+10≤x-10+10≤35+10
-25≤x≤45
Primeramente reemplacemos cada componente, como ya lo vimos en el ejemplo pasado b seria 5 y el equivalente de a seria x-10/7, debemos de darle solucion a esta desigualdad que a primera vista se puede ver que es de tipo lineal ya que el exponente esta elevado a la primera potencia, debemos de eliminar ese 7, pero para ello debemos de pasarlo multiplicando por tres miembros de la desigualdad, ¿pero porque multiplicando? porque si esta dividiendo pasa multiplicando, como se va a multiplicar por un signo positivo los signos de la desigualdad no presentan ningun cambio, para que al momento de multiplicar 7*7 se eliminen porque da como resultado 0 realizamos las operaciones correspondientes, ahora debemos dejar la x sola en el centro para eso debemos de pasar sumando 10 a los tres terminos de la desigualdad para que en el centro nos quede la x, en el centro la x queda sola, relizamos las operaciones correspondientes y nos da como resultado la solucion de la desigualdad.
EJEMPLO 3
En el caso 3 tenemos que el valor absoluto de a es mayor que una cantidad positiva de b se soluciona asi a<-b U a>b
|8x+1|>3
8x+1<-3 U 8x+1>3
8x<-3+-1 8x>3-1
8x<-4 8x>2
8x/8<-4/8 8x/8>2/8
x<-1/2 U x>1/4
Primeramente procedemos a sustituir cada componente que a representa lo que se encuentra dentro de las barras en este caso a seria 8x+1 y b es 3 sustituimos las variables,entre esas dos desigualdades debemos realizar al final la union de sus conjuntos solucion, comenzamos por el lado derecho, ambas desigualdades son de tipo lineal pasamos el +1 que se encuentra del lado izquierdo al lado derecho para poder dejar la x en un lado, realizamos las operaciones correspondientes y para podernos deshacer de ese 8 debemos de pasarlo diviendo a ambos lados de la desigualdad porque si esta multiplicando a la x la operacion inversa a la multiplicacion es la division, para que en el primer miembro resulte la x sola porque al dividir ocho entre ocho nos da como resultado 1 que en este caso seria la x, como se divide por un numero positivo el signo de la desigualdad no presenta ningun cambio, en un lado nos queda x y en el otro lado la fraccion -4/8 podemos sacarle la cuarta en el numerador y denominador y nos da el resultado de la primera parte de la desigualdad y realizamos los mismos pasos para realizar el otro lado de la desigualdad.
EJEMPLO 4
En el caso 4 tenemos que el valor absoluto de a es mayor o igual que una cantidad positiva de b se soluciona asi a≤-b U a≥b
|x+6|≥1
x+6≤-1 U x+6≥1
x≤-1-6 x≥1-6
x≤7 x≥5
Primeramente debemos de sustituir cada elemento que a es lo que esta entre las barras en este caso es x+6 y b es 1, sustituimos de acuerdo al caso y entre las dos desigualdades que resulte debemos realizar una union de conjuntos, ahora resolvemos cada desigualdad por separado, en los dos lados tenemos desigualdades lineales, despejamos x y pasamos el 6 restando al otro lado, realizamos la operacion correspondiente y nos da como resultado la solucion de la desigualdad y realizamos el mismo procedimiento para realizar la desigualdad del otro lado y al final volvemos hacer union de los conjuntos.
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